Condorcet (leçons d'arithmétique élémentaire): "On a donné des noms aux nombres; ainsi, un ajouté à un s'appèle deux ; est la
même chose que deux, est égal à deux ; un et un sont..... Deux.
Un ajouté à deux, ou, ce qui est la même chose, à un et à un, s'appèle trois, est égal à trois ; un et deux sont..... Trois.
Un ajouté à trois, s'appèle quatre, est égal à quatre ; un et trois sont..... Quatre.
Un ajouté à quatre, s'appèle cinq, est égal à cinq ; un et quatre sont..... Cinq.
Un ajouté à deux, est la même chose que deux ajouté à un, puisque ce sont toujours deux choses et une chose que l'on considère comme réunies.
Un et deux sont trois ; un et trois sont quatre ; quatre est donc la même chose que deux auquel on ajouteroit un et puis un ; que deux
auquel on auroit ajouté deux ; que deux et deux; deux et deux sont quatre.
Ainsi quatre, ou un auquel on auroit ajouté un, puis un, puis encore un ; deux et deux, trois et un sont la même chose, sont nombres égaux.
Huit et un sont neuf, et un sont dix ; donc huit et deux sont dix. Nous avons vu déja que cinq et trois étoient huit ; donc cinq, trois,
et deux, sont dix.
On dit encore : la somme de cinq et trois est huit ; la somme de six et un est sept ; la somme de cinq, trois et deux, est dix."
Leplus lire ici : la première leçon et le début de la deuxième, pour que nos lecteurs puissent prendre conscience de l'intérêt historique et scientifique de ce document. A cette lecture on peut se demander si la modernité se situe bien là où on le croit et le dit.
Nouvel objectif avec mes CP : introduction du concept de l'addition.
Je désire dans un premier temps introduire l'écriture additive en tant que trace d'une « histoire » vécue par les enfants.
Pour cela, j'ai préparé des enveloppes avec des gommettes. Les enfants sont répartis en groupes de 2.
Je distribue les couples d'enveloppes aux différents binômes : une enveloppe par enfant. Puis je donne une 3ème enveloppe
à chaque groupe et je demande aux enfants de mettre le contenu des 2 enveloppes dans l'enveloppe vide.
Sur les enveloppes, j'avais noté des numéros avec des couleurs différentes : chaque groupe recevait une enveloppe numérotée 1, une
autre numérotée 2 et la dernière numérotée 3.
Puis je récupère ces enveloppes remplies par les enfants.
Le matériel est préparé afin de proposer différentes décompositions des nombres 8 (5 et 3, 4 et 4, 6 et 2) et 7 (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4). Le dernier couple d'enveloppe propose une décomposition du nombre 5. Mon idée était de déstabiliser les 2 enfants qui ont ces deux enveloppes : pourquoi n'ont-ils pas 7 ou 8 gommettes comme les autres ? Se sont-ils trompés ? etc.
Les enveloppes remplies sont en ma possession. Je prends donc une des enveloppes et je demande au groupe d'enfants qui ont rempli cette enveloppe de me dire combien il y a de gommettes dedans.
Voici ce que ça donne :
L'ensemble des groupes est capable de répondre à la question. Sur 8 groupes, 5 répondent à la question sans se tromper.
Les groupes qui réussissent à répondre à ma question sont ceux qui sont capables de restituer « l'histoire » de leurs enveloppes : « Y'en
a 8 parce que moi j'en avais 4 vertes et Philippine en a mis 4 rouges. » me raconte Thomas.
Julie et Jérémie m'affirment qu'il y a 6 gommettes dans leur enveloppe : « Y'en a 4 bleues et 2 jaunes... enfin, on croit
mais on en est pas sûrs... on sait plus. »
Nous avons déjà vu l'intérêt de noter les nombres dans des activités de commandes en début d'année.
Moi : « Comment on pourrait faire pour être sûr, pour ne pas oublier ?»
Julie : « Il faudrait qu'on écrive combien il y a de gommettes. »
Moi : « Donc si vous deviez le refaire, vous noteriez les nombres... » (Je n'insiste pas. A suivre...)
Un autre groupe m'affirme qu'ils ont 9 gommettes : « Y'en avait 6 et 3 ».
Nathan a hérité des enveloppes avec 3 et 2 gommettes, il est seul (j'ai 15 enfants) : il ignore combien son enveloppe contient de gommettes.
Lorsqu'un groupe m'explique combien il y a de gommettes dans leur enveloppe, j'affiche l'enveloppe au tableau et je note ce qu'ils me disent : « Y'en a 8 parce que y'en avait 6 et 2 ». J'écris donc à côté de l'enveloppe : 8 6 et 2.
Je me rends compte que pour se justifier, les enfants sont obligés de parler de « x et y gommettes ». Ils décomposent leurs nombres mine de rien.
Leplus : ils le décomposent d'autant plus facilement qu'ils ont partagé le travail sur le modèle moi "tarzan" toi "jeanne". Celui qui est seul échoue peut-être pour cela . ( à vérifier)
C'est l'heure de vérifier ce que chaque groupe a avancé sur le nombre de gommettes : je leur redonne leurs enveloppes et je demande aux enfants de coller les gommettes sur un papier et d'écrire le nombre de gommettes total. Les couleurs des gommettes n'étant pas le même dans les 2 enveloppes, la décomposition du nombre est visuelle.
Voici quelques exemples :
J'écris ce que nous obtenons au tableau.
Ainsi que « l'histoire » : x et y gommettes.
Nathan n'a plus que 3 gommettes : sur sa feuille, toutes de la même couleur, il a perdu les autres gommettes. L'enveloppe contentant
5 gommettes n'apparaît pas. Ce n'est pas grave.
Nous discutons : certains papiers peuvent être rangés ensemble.
Les enfants font un tri en se basant uniquement sur le nombre de gommettes : 8 et 7.
Je conclus en disant : « Tous ces enfants là ont le même nombre de gommettes à la fin mais ils n'avaient pas le même nombre de gommettes au départ ».
Demain d'autres enveloppes les attendent. A suivre...
Nouvelle série d'enveloppes pour cette 2ème séance :
Les enfants sont toujours répartis par binôme.
Après un rappel sur la séance d'hier, je donne à chaque groupe 3 enveloppes : les 2 enveloppes contenant les gommettes et une enveloppe vide.
A chaque groupe, je distribue également un papier avec la consigne suivante : "sur le papier, écrivez l'histoire de vos enveloppes".
J'étaye un peu plus : "en regardant vos papiers, je dois être capable de savoir le nombres de gommettes qu'il y avait dans les enveloppes 1 et 2 et le nombre de gommettes qu'il y a dans l'enveloppe 3."
Ils ont fait, voici ce que ça donne :
(les papiers sont restés dans ma classe, je les récupère demain pour les mettre ici)
Nous prenons le temps de regarder l'ensemble des papiers :
Aucun papier ne "raconte" vraiment "l'histoire" des enveloppes.
A moi de faire ! J'explique aux enfants que je vais moi aussi faire l'activité et que j'écrirai ce qui se passe au tableau.
Je prends l'enveloppe 1 (les enfants regardent en silence, c'est le spectacle.). Je compte et j'écris 2. Idem avec la 2, j'écris
à côté du 2 : et 7.
Je mets l'enveloppe 1 dans la 3 puis l'enveloppe 2 dans la 3, je compte (je mime le comptage) et j'écris en dessous : 9.
Question : "Etes-vous capables de raconter l'histoire de mes enveloppes ?".
Les enfants racontent sans problème.
Nous finissons en triant les papiers, ceux qui "racontent l'histoire du 5", ceux qui "racontent l'histoire du 6", ceux qui "racontent l'histoire du 7", ceux qui "racontent l'histoire du 8" et ceux qui "racontent l'histoire du 9" :
Nouvelle série d'enveloppes : pour cette nouvelle situation, j'ai prévu que chaque enfant soit seul avec ses 3 enveloppes. Les gommettes sont toutes de la même couleur.
Suite à notre séance 2, nous avions vu comment nous pouvions « écrire l'histoire des enveloppes ».
Donc en plus des enveloppes, je distribue aux enfants un papier.
Les enfants doivent donc mettre le contenu des enveloppes 1 et 2 dans l'enveloppe 3 et écrire sur le papier « l'histoire de leurs enveloppes. » Je précise que ceux qui ne savent pas combien il y avait de gommettes dans leurs enveloppes doivent pouvoir le savoir en lisant le papier.
Les enfants font. Au tableau, j'affiche les enveloppes 3 et les papiers.
Souvent les enfants écrivent :
2 - 6
8
Lorsque je demande si les enfants comprennent « l'histoire des enveloppes » des leur camarade de classe, pas de problème pour eux pour dire : « il y avait 2 gommettes dans l'enveloppe 1 et 6 gommettes dans l'enveloppe 2, il y a 8 gommettes dans l'enveloppe 3. »
Seulement une élève a écrit :
2 et 4
6
Quelle déception pour moi alors que cet affichage trône dans la classe !
Je décide de prendre la situation en main, les enfants ne peuvent pas tout inventer !
Oui, on comprend l'écriture « 2 - 6 » entre nous et nous sommes capables de raconter « l'histoire des enveloppes » sauf que lorsqu'on fait des mathématiques ( qu'on fait des maths, quoi ! J'ai eu une discussion récente avec mes élèves qui ne savaient pas que « faire des maths » et « faire des mathématiques », c'était la même chose !), écrire « 2 - 6 », ça veut dire « 2 moins 6 » autrement dit « on en lève 6 à 2 ». Je montre l'absurdité de la chose avec des jetons. (Les enfants ont le temps de découvrir qu'un banquier ne trouve pas cette situation si absurde que ça ...).
Nous revenons sur l'écriture « 2 et 4 » qui évite ce genre de problème.
A ce moment là, je dis : « Je vais vous dire un secret. (gros silence !) Un secret qu'on ne dit qu'aux enfants qui viennent à « l'école
des grands ». On ne le dit pas aux enfants qui sont en maternelle. Seuls les grands ont le droit de le savoir et comme vous êtes chez les
grands maintenant, vous avez le droit de le savoir... Pour dire « 2 et 4 », ceux qui font des mathématiques, c'est-à-dire les
mathématiciens, écrivent « 2 + 4 ». Et on le lit « 2 plus 4 » ! »
Nous revenons sur leur papiers et nous transcrivons « l'histoire de leurs enveloppes » en écriture additive.
Nous arrêtons là pour cette séance.
Nouvelle série d'enveloppes :
Avant de donner les enveloppes aux enfants, nous revenons sur ce qui s'est passé la veille.
Je dessine 3 enveloppes au tableau :
et je demande comment « raconter l'histoire de la 3ème enveloppe » sur le papier.
Certains enfants me disent « on écrit 8 ». Je refuse car en écrivant 8, on ne peut pas savoir ce qu'il y avait dans les enveloppes 1 et 2.
Jérémie : « il faut écrire 2 + 6 ».
J'accepte : « Oui, en écrivant « 2 + 6 », on peut savoir qu'il y avait 2 gommettes dans l'enveloppe 1 et 6
gommettes dans l'enveloppe 2. »
Je distribue les enveloppes et les papiers aux enfants.
J'affiche chaque papier au tableau et à côté du papier, l'enveloppe 3 qui lui correspond. Nous regardons l'ensemble
des écrits. A part deux enfants, tous ont utilisé l'écriture additive. Sur les deux enfants qui ne l'ont pas utilisé, un enfant
a utilisé le mot « et ».
Je demande aux enfants de « raconter l'histoire des enveloppes de untel ».
Les enfants racontent : c'est la démarche inverse, de l'écriture additive, on passe à la narration du problème. (tiens, ça me
rappelle quelque chose...)
Exemple : On lit « 6 + 2 ».
Moi : Qui peut me raconter l'histoire des enveloppes de élève1 ?
Elève 2 : « ça veut dire qu'il y avait 6 gommettes dans l'enveloppe 1 et 2 gommettes dans l'enveloppe 2. »
Moi : Peux-tu me dire combien il y a de gommettes dans l'enveloppe 3.
Elève 2 : Y'en a 8 ! (Ici, j'invite les enfants à utiliser leurs doigts si besoin.)
Moi : On va vérifier s'il y a bien 8 gommettes.
Moi (à élève1) : Tu vas coller les gommettes sur un papier et tu écris le nombre de gommettes.
Voici ce que nous obtenons :
Je finis ainsi : « Alors nous voyons que « 6 + 2 raconte l'histoire d'un 8 ». 6 + 2, c'est la même chose que 8. »
Nous trions les écritures additives du 6, du 7, du 8 et du 9. Je dessine au tableau :
Certains reconnaitront l'influence Brissiaud... Moi j'y vois la construction des mes classes d'équivalence. J'irai plus loin en acceptant d'y ranger les écritures 4+1+1... etc
Je rappelle qu'à aucun moment « 2 + 6 = 8 » n'a été écrit. Ce n'est pas mon objectif pour le moment. Je veux que les enfants comprennent que 2 + 6 est un nombre.
Pour finir, je propose ces deux fiches, comme évaluation diagnostique de leurs acquis :
La réalisation de ces fiches me rassurent, les enfants suivent.
Je vais pouvoir me lancer sur RaconteMoiUnProbleme !
Caroline : Salut Céline. C'est super intéressant une fois de plus. Moi je n'ai toujours pas pu commencer. Il me manque toujours un de mes 2 CP (ils sont malades à tour de rôle!!!) . Je crains qu'avec seulement 2 élèves le travail que je vais proposer (qui suit les mêmes grandes lignes que le tien) ne soit pas aussi intéressant et n'aboutisse pas aussi loin.
Céline : Je sais ce que tu vis. Je sors d'une classe unique. Un enfant malade et tout est remis à plus tard. Pour le nombre restreint, je connaissais ça aussi. Pas évident d'y remédier...
Leplus (Dans son fauteuil relax) : époustouflant ( à la vanille), admirable ( de lapin), étonnant (tôt noir), merveilleux (dans le bouillon), remarquable (de frein), magnifique ... heu .. (de cheval)
Céline : Pour Caroline ou pour d'autres collègues, mes fiches de travail sont disponibles en téléchargement (.doc) : fiche 1 et fiche 2
La suite : Histoires de nombres somme
Céline Guillemin